Cực trị của hàm số là gì? Một số hàm cực trị cơ bản như: cực trị hàm bậc 3, bậc 4, hàm Logarit hay hàm số lượng giác là những kiến thức Đại số quan trọng và cần phải nắm chắc đối với những bạn học sinh muốn học tốt toán 12 hay ôn thi tốt nghiệp THPT và ôn thi đánh giá năng lực.
Dưới đây sẽ là một vài chia sẻ cơ bản nhất để các bạn có thể nắm được những khái niệm này, từ đó trang bị cho mình những kiến thức cơ bản nhất giúp giải quyết các dạng bài tập liên quan.
Mục lục
Cực trị hàm số là gì?
Cho hàm số y = f(x) liên tục tại khoảng (a;b) và xét điểm x0 ∈ (a; b)
– Nếu tồn tại số h > 0 thỏa mãn điều khiện f(x) < f(x0), ∀x ∈ (x0 – h ; x0 + h), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .
– Nếu tồn tại số h > 0 thỏa mãn điều kiện f(x) > f(x0), ∀x ∈ (x0 – h ; x0 + h), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x0 .
Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K: (x0 – h ; x0 + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K ∖{ x0 }.
– Nếu {f′(x)>0∣∀(x0−h;x0)f′(x)<0∣∀(x0;x0+h) thì ta có x0 là điểm cực đại của hàm số.
– Nếu {f′(x)>0∣∀(x0−h;x0)f′(x)<0∣∀(x0;x0+h) thì ta có x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
Định lý 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x0 – h; x0 + h) (h > 0).
Nếu f'(x0) = 0, f”(x0) > 0 thì ta có x0 là điểm cực tiểu của hàm số f.
Nếu f'(x0) = 0, f”(x0) < 0 thì ta có x0 là điểm cực đại của hàm số f.
Xét cực trị của hàm bậc 3, bậc 4
a. Với cực trị của hàm bậc 3
Cho hàm số có dạng: y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (điều kiện: a≠0)
Đạo hàm của hàm số: y′=f′(x)=3ax^2+2bx+c
Điều kiện để hàm y = f(x) tồn tại cực trị khi y = f(x) có cực đại và cực tiểu.
=> f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt Δ‘=b2−3ac>0
b. Với cực trị của hàm bậc 4 (hay còn gọi hàm trùng phương)
Cho hàm số: y = f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e (điều kiện: a≠0)
Đạo hàm: y′ = f′(x) = 4ax^3+3bx^2+2cx+d
Xác định cực trị của hàm bậc 4
Xét f’(x)=0 => Có 3 trường hợp xảy ra:
– TH1: Phương trình f’(x)=0 đúng 1 nghiệm => hàm số có đúng 1 cực trị.
– TH2: Phương trình f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt => có 3 cực trị gồm cực đại và cực tiểu.
– TH3: Phương trình f’(x)=0 có đúng 2 nghiệm phân biệt: 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép => có đúng 1 cực trị.
Cực trị của hàm số lượng giác
Các bước để tìm cực trị của hàm số lượng giác bao gồm:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Xác định đạo hàm y’ = f’(x) => giải phương trình f'(x) = y’=0, giả sử có nghiệm tại x0.
Bước 3: Khi đó: Tìm đạo hàm bậc 2 của f(x): f”(x) = y’’.
Tính y’’(x0) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 2.
Cực trị của hàm số logarit
Các bước tìm cực trị của hàm số Logarit bao gồm có:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x), rồi giải phương trình y’=0, giả sử có nghiệm tại x=x0.
Bước 3: Xét hai khả năng:
Trường hợp 1: Nếu xét được dấu của y’ => lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 2.
Trường hợp 2: Nếu không xét được dấu của y’, khi đó:
Tìm đạo hàm y’’.
Tính y’’(x0) rồi đưa ra kết luận
Cực trị hàm Logarit xuất hiện tương đối nhiều trong các bài thi tốt nghiệp THPT quốc gia các năm vừa qua nên có thể nói đây là phần kiến thức các bạn thực sự cần chú ý tới.
Các bạn có thể tham khảo: Bộ đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia mới nhất – môn toán
Trên đây là kiến thức cơ bản nhất về cực trị hàm số để các bạn có cái nhìn tổng quan nhất cũng như các bước thực hành, từ đó có thể dễ dàng đưa ra phương án giải quyết các bài tập trong thực tế.
Bên cạnh đó, việc tổng hợp kiến thức thông qua sơ đồ tư duy như trên sẽ giúp các bạn dễ dàng hơn trong việc ghi nhớ cũng như tự tạo cho mình kho kiến thức vô cùng hữu ích, hỗ trợ bạn trong việc tìm kiếm vào ôn lại trong trường hợp bị quên.
Chúc các bạn có những kiến thích bổ ích, phục vụ tốt nhất cho kì thi đại học, kì thi tốt nghiệp THPT hay thi đánh giá năng lực sắp tới.
Một số bài viết liên quan:
Những vật dụng được phép mang vào phòng thi đánh giá năng lực
Những điều cần biết về kỳ thi đánh giá năng lực
Trọn bộ đề thi đánh giá năng lực
(nguồn: hocmai.vn)
